Teoría de números

Determinación de bases enteras

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:27:45 +0000

Determinación de bases enteras
Para encontrar una base entera de un cuerpo numérico K basta dar un
procedimiento para obtener a partir de una base formada por enteros otra base
formada por enteros con discriminante menor, siempre que exista (more…)

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Módulos y órdenes

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:22:37 +0000

Módulos y órdenes
Finalmente estamos en condiciones de estudiar de forma sistemática algunos
conceptos que nos surgieron en el capítulo anterior, en relación con el estudio de
las ecuaciones definidas mediante formas. Recordemos la definición de módulo:
Definición 2.10 Un módulo de un cuerpo numérico K es un subgrupo aditivo
de K finitamente generado. (more…)

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Discriminantes

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:18:06 +0000

Discriminantes
Completamos los requisitos algebraicos de nuestra teoría estudiando los discriminantes
de bases de cuerpos numéricos. En general, si K es un cuerpo
numérico, la traza Tr : K −→ Q determina una forma bilineal simétrica
K × K −→ Q
(α, β)
→ Tr(αβ) (more…)

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Enteros algebraicos

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:15:17 +0000

Enteros algebraicos
Puede considerarse que el primer paso en la construcción de la teoría algebraica
de números moderna lo dio Dedekind al definir los enteros algebraicos.
éstos permiten desarrollar una teoría general que recoja como casos particulares
los resultados clásicos sobre enteros cuadráticos (como son los enteros de Gauss)
o enteros ciclotómicos. (more…)

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Cuerpos numéricos

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:11:50 +0000

Cuerpos numéricos
El estudio de los cuerpos numéricos está en la base de la teoría algebraica de
números. Toda la teoría que vamos a desarrollar resulta especialmente sencilla y
elegante cuando se aplica al caso de los cuerpos cuadráticos, es decir, los cuerpos
numéricos de grado 2. (more…)

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Ecuaciones definidas por formas

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:10:02 +0000

Ecuaciones definidas por formas
Cada forma F(x1, . . . , xr) con coeficientes enteros plantea dos problemas
básicos:
1. Determinar las soluciones de la ecuación diofántica F(x1, . . . , xr) = m,
para cada entero m.
2. Determinar qué enteros m están representados por F, es decir, admiten
una expresión del tipo F(x1, . . . , xr) = m para ciertos enteros x1, . . . , xr.
(more…)

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Ecuaciones diofánticas

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:07:15 +0000

Ecuaciones diofánticas
Una ecuación diofántica es simplemente una ecuación polinómica de la que se
buscan las soluciones enteras. Se llaman así en honor al matemático griego Diofanto,
aunque en todos los libros que se conservan no hay ningún resultado sobre
ecuaciones diofánticas en este sentido moderno. (more…)

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El teorema de Dirichlet

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:05:18 +0000

El teorema de Dirichlet
Hay un problema más que llevó al estudio de los enteros ciclotómicos. Antes
que Gauss, Legendre hab´ıa abordado también el problema de demostrar la
Ley de Reciprocidad Cuadrática (more…)

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La ley de reciprocidad cuadrática

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:04:20 +0000

La ley de reciprocidad cuadrática
La lógica matemática nos ense˜na que no puede existir una teoría de números
completa, en el sentido de que existen propiedades de los números naturales que
son ciertas sin que exista ningún motivo por el cual lo sean, es decir, sin que
existan argumentos que lo prueben, ni mucho menos que lo expliquen. (more…)

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Factorización única

admin — Fri, 25 Apr 2008 02:02:23 +0000

Factorización única
La clasificación de las ternas pitagóricas, así como el teorema 1.1, descansan
sobre la aritmética elemental. Sin embargo, la potencia de estos métodos pronto
se ve superada por la dificultad de los problemas que surgen de forma natural. (more…)

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