http://numeros.ismache.info Teoría algebraica de números Fri, 25 Apr 2008 02:27:45 +0000 http://backend.userland.com/rss092 en Determinación de bases enteras Para encontrar una base entera de un cuerpo numérico K basta dar un procedimiento para obtener a partir de una base formada por enteros otra base formada por enteros con discriminante menor, siempre que exista http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/determinacion-de-bases-enteras/ Módulos y órdenes Finalmente estamos en condiciones de estudiar de forma sistemática algunos conceptos que nos surgieron en el capítulo anterior, en relación con el estudio de las ecuaciones definidas mediante formas. Recordemos la definición de módulo: Definición 2.10 Un módulo de un cuerpo numérico K es un subgrupo aditivo de K finitamente generado. http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/modulos-y-ordenes/ Discriminantes Completamos los requisitos algebraicos de nuestra teoría estudiando los discriminantes de bases de cuerpos numéricos. En general, si K es un cuerpo numérico, la traza Tr : K −→ Q determina una forma bilineal simétrica K × K −→ Q (α, β) → Tr(αβ) http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/discriminantes/ Enteros algebraicos Puede considerarse que el primer paso en la construcción de la teoría algebraica de números moderna lo dio Dedekind al definir los enteros algebraicos. éstos permiten desarrollar una teoría general que recoja como casos particulares los resultados clásicos sobre enteros cuadráticos (como son los enteros de Gauss) o enteros ciclotómicos. http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/enteros-algebraicos/ Cuerpos numéricos El estudio de los cuerpos numéricos está en la base de la teoría algebraica de números. Toda la teoría que vamos a desarrollar resulta especialmente sencilla y elegante cuando se aplica al caso de los cuerpos cuadráticos, es decir, los cuerpos numéricos de grado 2. http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/cuerpos-numericos/ Ecuaciones definidas por formas Cada forma F(x1, . . . , xr) con coeficientes enteros plantea dos problemas básicos: 1. Determinar las soluciones de la ecuación diofántica F(x1, . . . , xr) = m, para cada entero m. 2. Determinar qué enteros m están representados por F, es decir, admiten una expresión del tipo F(x1, ... http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/ecuaciones-definidas-por-formas/ Ecuaciones diofánticas Una ecuación diofántica es simplemente una ecuación polinómica de la que se buscan las soluciones enteras. Se llaman así en honor al matemático griego Diofanto, aunque en todos los libros que se conservan no hay ningún resultado sobre ecuaciones diofánticas en este sentido moderno. http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/ecuaciones-diofanticas/ El teorema de Dirichlet Hay un problema más que llevó al estudio de los enteros ciclotómicos. Antes que Gauss, Legendre hab´ıa abordado también el problema de demostrar la Ley de Reciprocidad Cuadrática http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/el-teorema-de-dirichlet/ La ley de reciprocidad cuadrática La lógica matemática nos ense˜na que no puede existir una teoría de números completa, en el sentido de que existen propiedades de los números naturales que son ciertas sin que exista ningún motivo por el cual lo sean, es decir, sin que existan argumentos que lo prueben, ni mucho ... http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/la-ley-de-reciprocidad-cuadratica/ Factorización única La clasificación de las ternas pitagóricas, así como el teorema 1.1, descansan sobre la aritmética elemental. Sin embargo, la potencia de estos métodos pronto se ve superada por la dificultad de los problemas que surgen de forma natural. http://numeros.ismache.info/teoria-de-numeros/factorizacion-unica/