Cuerpos numéricos
El estudio de los cuerpos numéricos está en la base de la teoría algebraica de
números. Toda la teoría que vamos a desarrollar resulta especialmente sencilla y
elegante cuando se aplica al caso de los cuerpos cuadráticos, es decir, los cuerpos
numéricos de grado 2. Comencemos describiendo estos cuerpos.
Si K es un cuerpo cuadrático, la teoría de Galois nos da que tiene un elemento
primitivo, es decir, existe un ζ K tal que K = Q(ζ). Entonces polmín ζ tiene
grado 2. Multiplicándolo por una constante obtenemos un polinomio ax2+bx+c
con coeficientes enteros con raíz ζ y tal que a = 0. Si llamamos D = b2 − 4ac,
entonces ζ = −b±√D
2a , y es claro que K = Q √D .
El número D no puede ser un cuadrado perfecto, o de lo contrario K = Q y
su grado sería 1. Digamos que D = m2d, donde d es libre de cuadrados (quizá
d = −1). Entonces √D = m√d y es evidente que K = Q √d .
En resumen, todo cuerpo cuadrático es de la forma Q √d para un entero d
libre de cuadrados. Sus elementos son de la forma Q √d = {a+b√d | a, b Q}.
Pronto veremos que si d = d en estas condiciones, entonces los cuerpos que
determinan son distintos.
En lo sucesivo, cuando digamos que Q √d es un cuerpo cuadrático se
sobrentenderá que d es un entero libre de cuadrados. Si d < 0 se entiende que √d es el número complejo √−d i.
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