Discriminantes
Completamos los requisitos algebraicos de nuestra teoría estudiando los discriminantes
de bases de cuerpos numéricos. En general, si K es un cuerpo
numérico, la traza Tr : K −→ Q determina una forma bilineal simétrica
K × K −→ Q
(α, β)
→ Tr(αβ)
Dada una base {β1, . . . , βn} de K, la matriz de la forma en esta base es
A = Tr(βiβj) . Si llamamos σ1, . . . , σn a los monomorfismos de K, es decir, los
monomorfismos σ : K −→ C, esta matriz puede descomponerse como producto
A = σk(βi) ik σk(βj) kj.
Definición 2.6 Llamaremos discriminante de una base B = {β1, . . . , βn} de
un cuerpo numérico K al número
∆[B] = ∆[β1, . . . , βn] = det Tr(βiβj) = det σi(βj) 2
.
Notar que el cuadrado hace que el valor del discriminante no dependa del orden
de los elementos de la base o del de los monomorfismos.
En particular, si ζ es un elemento primitivo de K, las potencias 1, ζ, . . . , ζn−1
forman una base de K. Por brevedad escribiremos ∆[ζ] = ∆[1, ζ, . . . , ζn−1].
Los discriminantes constituyen una herramienta muy poderosa para trabajar
con cuerpos numéricos. El teorema siguiente recoge sus propiedades m´as
importantes.
Teorema 2.7 Sean B y C dos bases de un cuerpo numérico K.
1. ∆[B] ∈ Q y ∆[B] = 0.
2. Si DCB es la matriz cuyas filas son las coordenadas de los elementos de B
respecto de la base C, entonces ∆[B] = |DCB
|2∆[C].
3. Si los elementos de B son enteros, ∆[B] ∈ Z y ∆[B] ≡ 0, 1 (mód 4).
Discriminantes 23
Demostración: La propiedad 2) es un hecho general sobre formas bilineales.
Es obvio que los discriminantes son números racionales. Para probar que
son no nulos basta verlo para una base en particular (con esto probamos que
la forma bilineal determinada por la traza es regular). Consideremos concretamente
{1, ζ, . . . , ζn−1}, donde ζ es un elemento primitivo de K. Para esta base
el determinante que aparece es un determinante de Vandermonde
∆[ζ] = det σi(ζj−1) 2 = det(σi(ζ)j−1)2 = 1≤i<j≤n σj(ζ) − σi(ζ) 2
,
y como los n conjugados de ζ son distintos, el determinante es no nulo.
Es obvio que los conjugados de enteros son enteros, luego las trazas de los
enteros son enteros racionales, y así la primera parte de 3) es clara.
Sea B = {β1, . . . , βn}. Sea ρ uno de los monomorfismos de K. Llamemos
A = σi(βj) . El determinante de A es una suma de productos de la forma
±στ(1)(β1) · · · στ(n)(βn),
donde τ ∈ Σn, el grupo de las permutaciones de n elementos. Si le aplicamos ρ
obtenemos un término de la forma
±ρ στ(1)(β1) · · · ρ στ(n)(βn) .
Ahora bien, cada monomorfismo σiρ ha de ser un σρ(i), para cierto índice ρ(i)
(y ahora estamos llamando ρ a una permutación de {1, . . . , n} inducida por el
automorfismo ρ). Por lo tanto la imagen por ρ del producto es
±σρ(τ(1))(β1) · · · σρ(τ(n))(βn),
es decir, el sumando del determinante correspondiente a la permutación τρ.
Si (la permutación inducida por) ρ es una permutación par entonces ρ envía
sumandos con signo positivo a sumandos con signo positivo y sumandos con
signo negativo a sumandos con signo negativo, mientras que si ρ es impar entonces
intercambia los sumandos positivos con los negativos. En otras palabras,
si llamamos respectivamente P y N a la suma de términos positivos y negativos
(sin el signo) del determinante de A, tenemos que detA = P − N y o bien
ρ(P) = P y ρ(N) = N, o bien ρ(P) = N y ρ(N) = P.
En cualquier caso ρ(P + N) = P + N y ρ(PN) = PN, para todo automor-
fismo ρ, luego concluimos que P +N, PN ∈ Q. Adem´as son enteros algebraicos,
luego est´an en Z. Finalmente,
∆[B] = (P − N)2 = (P + N)2 − 4PN ≡ (P + N)2 ≡ 0, 1 (mód 4),
pues todo cuadrado es 0 o 1 módulo 4.
En la prueba anterior hemos visto que los discriminantes asociados a elementos
primitivos son especialmente simples de manejar debido a que son el
cuadrado de un determinante de Vandermonde. Este hecho también simplifica
enormemente su c´alculo pr´actico.
Teorema 2.8 Sea K = Q(ζ) un cuerpo numérico y p(x) = polmín ζ. Entonces
∆[ζ] = (−1)n(n−1)/2 N p (ζ) ,
donde p (x) es la derivada formal de p(x) y n es el grado de K.
Demostración: Según hemos visto en la prueba del teorema anterior
∆[ζ] = 1≤i<j≤n σj(ζ) − σi(ζ) 2
. (2.2)
Por otro lado, p(x) = n
i=1 x − σi(ζ) , y se demuestra f´acilmente (por
inducción sobre n) que
p (x) =
n
j=1
n
i=1
i=j x − σi(ζ) ,
luego
p σj(ζ) =
n
i=1
i=j σj(ζ) − σi(ζ) para j = 1, . . . , n.
Multiplicando todas estas ecuaciones obtenemos
N p (ζ) =
n
j=1
σj p (ζ) =
n
j=1
p σj(ζ) =
n
i,j=1
i=j σj(ζ) − σi(ζ) .
Agrupamos los pares σj(ζ)−σi(ζ) σi(ζ)−σj(ζ) = − σj(ζ)−σi(ζ) 2. El
número de factores (−1) que aparecen es n(n − 1)/2, luego teniendo en cuenta
(2.2) queda N p (ζ) = (−1)n(n−1)/2∆[ζ], y de aquí se sigue el teorema.
Ejercicio: Sea K = Q √d un cuerpo cuadr´atico. Calcular ∆1,√d directamente
y mediante el teorema anterior.
Ejercicio: Sea ω una raíz p-ésima primitiva de la unidad para un primo impar p.
Probar que ∆[ω] = (−1)(p−1)/2pp−2.
Ejemplo Si el polinomio f(x) = x3 + ax + b ∈ Q[x] es irreducible y α es una
raíz, entonces ∆[α] = −27b2 − 4a3.
En efecto, si α es cualquier conjugado de α, entonces
f (α ) = 3α 2 + a =
3α 2 + aα
α
= −2aα − 3b
α
.
Multiplicamos para los tres conjugados de α, teniendo en cuenta que su
producto es −b. Así,
∆[α] = − Nf (α) =
1
b α
(−2aα − 3b) =
8a3
b α
(−3b
2a − α ) =
8a3
b
f −
3b
2a.
Desde aquí se llega a la fórmula indicada sin m´as que operar. (Hemos supuesto
a = 0, pero si a = 0 es m´as sencillo.)
Módulos y órdenes 25
Ejercicio: Probar que si x5 + ax + b ∈ Q[x] es irreducible y α es una raíz, entonces
∆[α] = 54b4 + 28a5.
Definición 2.9 En el teorema 2.7 hemos visto que la forma bilineal asociada a
la traza de un cuerpo numérico K es regular, por lo que induce un isomorfismo
entre K y su espacio vectorial dual. Concretamente, cada α ∈ K se corresponde
con la aplicación lineal K −→ Q dada por β
→ Tr(αβ). Si B = {α1, . . . , αn} es
una base de K, podemos considerar su base asociada en el espacio dual de K, que
a través del isomorfismo citado se corresponde con una nueva base {α∗1, . . . , α∗n } de K. Esta base se llama base dual de B, y est´a caracterizada por que
Tr(αiα∗j) = 1 si i = j
0 si i = j
Ejemplo Sea α una raíz del polinomio x3+4x+1. Una base del cuerpo Q(α)
la forman obviamente los números {1, α, α2}. Vamos a calcular la matriz en
dicha base de la forma bilineal asociada a la traza. En la p´agina 22 tenemos los
conjugados de α. Si por ejemplo queremos calcular Tr(α · α) calculamos
α2
1 + α2
2 + α2
3 = −8, 00001
con lo que Tr(α · α) = −8. Similarmente se calculan las dem´as trazas, y el
resultado es
A =
3 0 −8
0 −8 3
−8 3 32
.
El discriminante es ∆[α] = −283 y adem´as
A−1 =
1
283
265 24 64
24 −32 9
64 9 24
.
Es f´acil ver entonces que la base dual de la dada es
265
283
+
24
283α +
64
383α2,
24
283 −
32
283α +
9
383α2,
64
283
+
9
283α +
24
383α2.
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