Teoría de números

Ecuaciones diofánticas
Una ecuación diofántica es simplemente una ecuación polinómica de la que se
buscan las soluciones enteras. Se llaman así en honor al matemático griego Diofanto,
aunque en todos los libros que se conservan no hay ningún resultado sobre
ecuaciones diofánticas en este sentido moderno. él buscaba siempre soluciones
racionales en lugar de enteras.
Todos los resultados que hemos probado en este capítulo son soluciones de
ecuaciones diofánticas. Del mismo modo que el estudio de los sistemas de ecuaciones
lineales dio lugar al álgebra lineal, las ecuaciones diofánticas están en la
base de las distintas ramas de la teoría de números. Sabemos que no puede existir
una teoría general de ecuaciones diofánticas en el mismo sentido que la hay
para los sistemas de ecuaciones lineales, pero hay muchos resultados aplicables
a familias concretas de ecuaciones. Ya hemos comentado que Gauss dedicó gran
parte de sus Disquisitiones arithmeticae a encontrar un método para resolver
cualquier ecuación diofántica de segundo grado con dos variables.
Observar que las ecuaciones diofánticas con una variable son triviales, pues
resolverlas se reduce a aproximar analíticamente las raíces del polinomio que
determina la ecuación y comprobar si son enteras. Si pasamos a ecuaciones con
dos variables, las de grado 1 también son sencillas.
Ejercicio: Dar un método para determinar todas las soluciones enteras de una
ecuación de la forma ax + by = c, donde a, b, c ∈ Z.
Así pues, el primer caso no trivial es el de las ecuaciones de segundo grado
con dos variables (el caso estudiado por Gauss). Puede probarse que mediante
cambios de variable adecuados el problema puede reducirse a estudiar ecuaciones
definidas por formas cuadráticas, es decir, ecuaciones de la forma
ax2 + bxy + cy2 = d. (1.4)
Notemos que si a = 0 o c = 0 el problema es trivial, pues una de las incógnitas
ha de ser un divisor de d y hay un número finito de soluciones. Supongamos,
pues, a = 0 = c. Veamos hasta dónde podemos llegar mediante razonamientos
elementales para encontrar así el núcleo del problema.
Factorizamos el polinomio ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β), y entonces la
ecuación se convierte en
a(x − αy)(x − βy) = d.
Los números α y β son −b±√b2−4ac
2a . Sea D = b2 − 4ac. El número D se
llama discriminante de la forma cuadrática ax2 + bxy + cy2.
Si D = 0 entonces α = β = −b/2a. Multiplicando por 4a obtenemos la
ecuación (2ax + by)2 = 4ad, cuyas soluciones enteras son fáciles de hallar.
Si D = k2 = 0, entonces multiplicando por 4a queda
(2ax + ky)(2ax − ky) = 4ad,
que a su vez se reduce a un número finito de sistemas de ecuaciones de la forma
2ax + ky = u, 2ax − ky = v,
donde u y v recorren las factorizaciones de 4ad. Si d = 0 el número de soluciones
es finito. Si d = 0 la ecuación se reduce a 2ax±ky = 0, cuya solución es sencilla.
Nos queda el caso en que D no es un cuadrado perfecto. Entonces α y β
son elementos del cuerpo Q√D. Más aún, son conjugados en el sentido de la
teoría de Galois. Si llamamos N a la norma en Q√D, la ecuación se expresa
en la forma
N(x − αy) = d/a. (1.5)
Por lo tanto, la solución de una ecuación diofántica de la forma (1.4) se
reduce (salvo casos triviales) a encontrar elementos de la forma x − αy con
norma igual a d/a.
Pensar en encontrar elementos de un cuerpo con una norma determinada en
lugar de en encontrar pares de enteros que cumplan una ecuación determinada es
un cambio de perspectiva muy importante. Con todo, el problema no es simple.
Buena muestra de ello es que la menor solución de la ecuación x2 −61y2 = 1 es
la dada por x = 1.766.319.049, y = 226.153.980.
Lo que hemos ganado es que ahora podemos dar un tratamiento sistemático
al problema. Es prácticamente imposible trabajar en general con una ecuación
con coeficientes indeterminados, pero es muy cómodo teorizar sobre extensiones
de Galois. Más aún, un estudio directo de una ecuación de grado 2 sería
difícilmente generalizable a ecuaciones de grados superiores, mientras que en
lugar de trabajar concretamente con ecuaciones del tipo (1.5), podemos considerar
ecuaciones similares definidas por normas de extensiones arbitrarias de
Q, sin que ello suponga apenas ningún esfuerzo adicional. Ello nos llevará a un
método para resolver una familia de ecuaciones diofánticas que incluye todas las
del tipo (1.4), pero también muchas otras de grados arbitrariamente grandes.
Vamos a plantear el problema en toda su generalidad:
Sea K una extensión finita de Q, es decir, K es un cuerpo tal que Q ⊂ K ⊂ C
y como espacio vectorial sobre Q tiene dimensión finita (en el caso anterior sería
K = Q√D, que tiene dimensión 2 sobre Q). Un cuerpo en estas condiciones
se denomina cuerpo numérico.
La teoría de Galois nos da que la extensión tiene un elemento primitivo,
es decir, existe un ζ ∈ K tal que K = Q(ζ) (en el caso anterior ζ = √D).
Todo elemento de K es algebraico sobre Q, es decir, para cada α ∈ K existe un
único polinomio mónico irreducible p(x) ∈ Q[x] tal que p(a) = 0. Además p(x)
divide a cualquier polinomio de Q[x] que tenga a α por raíz. A este polinomio
lo llamaremos polinomio mínimo de α y lo abreviaremos por polmín α.
En particular el grado de polmín ζ es el grado de K, es decir, la dimensión
de K como Q-espacio vectorial. Llamémoslo n.
La teoría de Galois nos da también que polmín ζ tiene n raíces distintas en
C, llamémoslas ζ1, . . . , ζn (con ζ = ζ1), así como que para i = 1, . . . , n existe un
isomorfismo σi : K −→ Q(ζi) tal que σi(ζ) = ζi. Es fácil ver que σ1, . . . , σn son
los únicos monomorfismos de K en C, luego no dependen de la elección de ζ.
(En el caso anterior los conjugados de √D son ±√D y los monomorfismos
son la identidad y la conjugación que envía √D a −√D. De hecho son isomor-
fismos, aunque si K no es una extensión de Galois puede ocurrir que Q(ζi) no
esté contenido en K).
El cuerpo L = Q(ζ1, . . . , ζn) es la clausura normal de K, es decir, la menor
extensión de Galois sobre Q que contiene a K. Los monomorfismos σi son las
restricciones a K de los automorfismos de L.
Si σ es un automorfismo de L, entonces σi ◦ σ es un monomorfismo de K,
luego se trata de uno de los σj . Además si i = j, entonces σi ◦ σ = σj ◦ σ (pues
difieren sobre ζ). Por lo tanto la composición con σ permuta los monomorfismos
σi. El cuerpo K tiene asociada una norma N : K −→ Q definida por
N(α) = σ1(α) · · · σn(α).
La norma de un número α es ciertamente un número racional, debido a que
cualquier automorfismo σ de L permuta los factores de N(α), y por consiguiente
σN(α) = N(α). Si α1, . . . , αr son elementos no nulos de K definimos
N(x1α1+· · ·+xrαr) = x1σ1(α1)+· · ·+xrσ1(αr)· · · x1σn(α1)+· · ·+xrσn(αr) Es claro que se trata de una forma de grado n (una forma es un polinomio
cuyos monomios tienen todos el mismo grado). Tener en cuenta que el producto
de formas es una forma y que los factores que definen N(x1α1 +· · ·+xrαr) son
formas.
Al igual que ocurre con N(α), todo automorfismo σ de L permuta los factores
de N(x1α1 + · · · + xrαr), luego
σN(x1α1 + · · · + xrαr) = N(x1α1 + · · · + xrαr).
La teoría de Galois nos da entonces que N(x1α1+· · ·+xrαr) ∈ Q[x1, . . . , xr].
Si x1, . . . , xr ∈ Q, entonces N(x1α1 + · · · + xrαr) es simplemente la norma
de x1α1 + · · · + xrαr.
Un módulo M de K será un subgrupo de (K, +) generado por un conjunto
finito α1, . . . , αr de elementos de K, es decir,
M = α1, . . . , αrZ = {a1α1 + · · · + arαr | a1, . . . , ar ∈ Z}.
Hemos visto que hallar las soluciones de una ecuación diofántica definida por
una forma cuadrática (1.4) con discriminante no cuadrado perfecto equivale a
encontrar las soluciones de (1.5), lo que a su vez equivale a encontrar los elementos
del módulo M = 1, α de norma d/a. En general, uno de los problemas
que resolveremos en este libro será el de determinar las soluciones enteras de
una ecuación del tipo
N(x1α1 + · · · + xrαr) = m,
lo cual equivale a su vez a encontrar los elementos del módulo M = α1, . . . , αrZ
de norma m. El método que daremos puede considerarse una generalización de
la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas binarias. En la sección siguiente
damos algunos resultados adicionales que terminan de perfilar el planteamiento
del problema.

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