El teorema de Dirichlet
Hay un problema más que llevó al estudio de los enteros ciclotómicos. Antes
que Gauss, Legendre hab´ıa abordado también el problema de demostrar la
Ley de Reciprocidad Cuadrática, y consiguió demostrarla aceptando sin demostraci
ón un hecho muy sencillo de enunciar y que los datos emp´ıricos corroboraban:
Para todo natural n no nulo, cada una de las clases del grupo Un de
las unidades módulo n contiene al menos un número primo. Gauss no consigui
ó demostrar este hecho, pero se las arregló para evitarlo. Dirichlet vislumbró
una posible conexión con los cuerpos ciclotómicos que efectivamente le llevó
hasta una demostración de lo que hoy se conoce como Teorema de Dirichlet
sobre Primos en Progresiones Aritméticas, pues admite el siguiente enunciado
elemental.
Teorema de Dirichlet Si a, b son números enteros primos entre s´ı, entonces
la progresión aritmética an + b, para n = 1, 2, . . . contiene infinitos primos.
Aunque no estamos en condiciones de explicar la idea que guió a Dirichlet,
digamos al menos que está relacionada con que el grupo de Galois de la extensión
ciclotómica n-sima de Q es isomorfo a Un. El teorema de Dirichlet es una
herramienta importante en la teor´ıa de números y, aunque en ocasiones puede
ser evitado (como hizo Gauss para probar la Ley de Reciprocidad) ello suele
llevar a caminos torcidos que restan naturalidad a las demostraciones. Por este
motivo la prueba de Dirichlet fue muy celebrada, además de porque fue uno de
los primeros éxitos importantes de la teor´ıa anal´ıtica de números.
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