El ´ Ultimo Teorema de Fermat
En el siglo XVII los matemáticos estaban más interesados por explorar ideas
nuevas, como el recién descubierto cálculo diferencial, que por los viejos problemas
sobre números enteros que se estudiaba en los libros de Euclides, Diofanto,
etc. Se tenía la impresión de que no había mucho que descubrir en este campo.
Uno de los principales responsables de que se renovara el interés por la teoría de
números fue Pierre de Fermat, quien, según era habitual en la época, retaba a
otros matemáticos a resolver problemas que él mismo había resuelto o al menos
conjeturado. éstos eran del estilo de determinar qué números naturales pueden
expresarse como suma de dos cuadrados, o de tres, o de cuatro, etc., o qué
números coinciden con la suma de sus divisores propios, o hallar las soluciones
enteras de determinadas ecuaciones . . .
La facilidad para formular conjeturas sencillas mediante cálculos directos
hacía a los problemas mucho más intrigantes. Por ejemplo, fueron muchos los
matemáticos que intentaron sin éxito probar algo tan simple (de enunciar y deconstatar empíricamente) como que todo número natural es suma de cuatro
cuadrados. La primera prueba es de Lagrange. Entre los muchos resultados que
probó Fermat se encuentra el siguiente:
Teorema 1.1 La ecuación, x4 + y4 = z2 no tiene soluciones enteras positivas.
Demostración: Si existen soluciones positivas de la ecuación x4+y4 = z2,
entonces (x2, y2, z) es una terna pitagórica. Notar que si dividimos x, y, z por su
m.c.d. obtenemos números primos entre sí que siguen cumpliendo la ecuación,
luego podemos suponer que (x, y, z) = 1, y claramente esto implica que en
realidad son primos entre sí dos a dos y que la terna (x2, y2, z) es primitiva.
Según los resultados de la sección anterior, x2 = 2pq, y2 = p2−q2, z = p2+q2,
donde p y q son números enteros primos entre sí, de distinta paridad y p > q > 0
(intercambiamos x con y si es necesario para que x2 sea el par).
Ahora, p2 = y2 + q2, luego (q, y, p) es otra terna pitagórica, lo que obliga a
que p sea impar, luego q ha de ser par, y así q = 2ab, y = a2 − b2, p = a2 + b2,
para ciertos enteros a y b primos entre sí, de paridad opuesta, a > b > 0 (notar
que se trata de una terna primitiva porque (p, q) = 1).
Por lo tanto x2 = 4ab(a2 + b2) y en consecuencia ab(a2 + b2) = (x/2)2. Por
otra parte (a, b) = 1 implica fácilmente que (ab, a2 + b2) = 1.
Ahora usamos un argumento muy simple pero importante: si el producto
de dos números naturales primos entre sí es un cuadrado, entonces ambos son
cuadrados, pues cada uno de ellos debe tener cada factor primo con exponente
par.
Concluimos que ab y a2 + b2 son cuadrados y, por el mismo argumento,
también lo son a y b. Digamos a = u2, b = v2, a2 + b2 = w2.
Entonces u4 + v4 = a2 + b2 = w2 = p < p2 + q2 = z < z2.
En resumen, si existe una terna de números positivos (x, y, z) de manera que
x4 + y4 = z2, existe otra (u, v,w) que cumple lo mismo pero con w2 < z2. Si
existieran tales ternas debería haber una con z mínimo, lo cual es falso según
lo visto, por lo que la ecuación no tiene solución.
En particular el teorema anterior implica que la ecuación x4 + y4 = z4 no
tiene soluciones positivas. Es conocido que Fermat creyó en cierta ocasión haber
probado que esto mismo es cierto para cualquier exponente distinto de 2. Es
prácticamente seguro que cometió un error y que se dio cuenta de ello, pues
jamás afirmó públicamente tener tal prueba y el problema ha resistido el ataque
de los mejores matemáticos de los últimos doscientos a˜nos. Simplemente, Fermat
anotó su presunto hallazgo en un margen de su ejemplar de la Aritmética de
Diofanto y después olvidó, o no consideró necesario, tachar la nota. Tras su
muerte, uno de sus hijos hizo públicas las notas de su padre, entre las cuales
figuraba esa peque˜na declaración de haber probado lo que desde entonces se
conoce como último Teorema de Fermat, esto es, la afirmación:
La ecuación xn +yn = zn no tiene soluciones enteras positivas para
exponentes n > 2.
Factorización única 5
El nombre no hace referencia a que fuera el último resultado que Fermat
hubiera demostrado, sino a que a principios del siglo XIX todas las afirmaciones
que Fermat había dejado enunciadas sin demostración habían sido demostradas
o refutadas salvo ésta, que era, pues, el último ‘teorema’ de Fermat cuya prueba
faltaba encontrar.
El teorema anterior muestra que Fermat sí había probado (y comunicado) la
prueba para exponente n = 4. Más aún, esto implica de hecho que el teorema
de Fermat es cierto para cualquier exponente de la forma n = 4k. En efecto,
si existieran números positivos (x, y, z) tales que x4k + y4k = z4k, entonces
(xk, yk, zk) sería una solución a la ecuación x4 + y4 = z4, lo cual es imposible.
En particular el último Teorema de Fermat es cierto para las potencias de dos.
De aquí se sigue ahora que si el último teorema de Fermat es cierto para
exponentes primos impares, entonces es cierto para todo exponente. En efecto,
si existen soluciones positivas a una ecuación xn+yn = zn, entonces n no puede
ser potencia de 2, luego existe un primo impar p tal que p | n, o sea, n = pk,
para cierto entero k, luego (xk, yk, zk) es una solución positiva a la ecuación
xp + yp = zp.
Observemos que si p es impar el último Teorema de Fermat equivale a la no
existencia de soluciones enteras no triviales (o sea, con xyz = 0) de la ecuación
xp + yp + zp = 0,
lo que muestra que en realidad el papel de las tres variables es simétrico. Esto
simplifica algunos argumentos.
Euler demostró el teorema de Fermat para p = 3, ya en el siglo XIX, el joven
Dirichlet y el anciano Legendre demostraron independientemente el caso p = 5,
pero Dirichlet fracasó al abordar el caso p = 7, y sólo consiguió una prueba para
exponente 14. La complejidad de los argumentos aumentaba tan rápidamente
que p = 7 era prácticamente intratable. Más adelante Kummer llegó a probar el
teorema de Fermat para todos los exponentes menores que 100. Evidentemente
esto no fue el resultado de cálculos más prolijos todavía, sino de nuevas ideas.
Lo explicaremos con más detalle en la sección siguiente.
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