Enteros algebraicos
Puede considerarse que el primer paso en la construcción de la teoría algebraica
de números moderna lo dio Dedekind al definir los enteros algebraicos.
éstos permiten desarrollar una teoría general que recoja como casos particulares
los resultados clásicos sobre enteros cuadráticos (como son los enteros de Gauss)
o enteros ciclotómicos. En general, los enteros algebraicos juegan el mismo papel
respecto a los números algebraicos que los enteros ordinarios respecto a los
números racionales.
Definición 2.1 Un número complejo es un entero algebraico si y sólo si es la
raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros.
Llamaremos A al cuerpo de todos los números algebraicos y E al conjunto
de todos los enteros algebraicos (que, como pronto veremos, es un anillo). Claramente
E A.
Teorema 2.2 Un número algebraico a es un entero algebraico si y sólo si
polmín a Z[x].
Demostración: Una implicación es obvia. Supongamos que a es un entero
algebraico y sea p(x) Z[x] un polinomio mónico tal que p(a) = 0. Sea q(x)
un factor irreducible de p(x) en Z[x] tal que q(a) = 0. Existe un polinomio
r(x) Z[x] tal que p(x) = q(x)r(x). Como el producto de los coeficientes
directores de q(x) y r(x) debe ser igual al coeficiente director de p(x) que es
1, el coeficiente director de q(x) debe ser ±1. Podemos exigir que sea 1 y
así q(x) es un polinomio mónico irreducible en Z[x] del que a es raíz. Por el
criterio de irreducibilidad de Gauss, q(x) también es irreducible en Q[x], luego
q(x) = polmín a Z[x].
Como el polinomio mínimo de un número racional r es x−r, es obvio ahora
que un número racional es un entero algebraico si y sólo si es un entero. Las
propiedades básicas de los enteros algebraicos se deducen del teorema siguiente.
Teorema 2.3 Un número complejo c es un entero algebraico si y sólo si el
anillo Z[c] = q(c)
q(x) Z[x] es un Z-módulo finitamente generado. En tal
caso dicho módulo es libre de rango |Q(c) : Q|.
Demostración: Supongamos que c es un entero algebraico. Entonces
p(c) = 0, donde p(x) es un polinomio mónico con coeficientes enteros y de
grado n. Veamos que
Z[c] = cm | m = 1, . . . , n − 1 . (2.1)
Un elemento arbitrario de Z[c] es de la forma q(c), donde q(x) es un polinomio
con coeficientes enteros. Dividimos q(x) = p(x)u(x) + r(x), donde u y r tienen
ambos coeficientes enteros y el grado de r es menor que n. Entonces resulta que
q(c) = r(c), luego pertenece al miembro derecho de (2.1), y la otra inclusión es
obvia. De hecho el generador (1, c, . . . , cn−1) es una base, pues una combinación
lineal nula es de la forma r(c) = 0, con r(x) Z[x] de grado menor que n, luego
concluimos que r = 0.
Supongamos ahora que Z[c] es finitamente generado. Digamos que admite
n generadores v1, . . . , vn. Cada vi es un polinomio en c con coeficientes enteros.
Sea m mayor que el grado de cualquiera de dichos polinomios.
Entonces cm se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de
los vi, luego en definitiva cm = q(c), con q(x) Z[x] de grado menor que m. La
ecuación cm − q(c) = 0 justifica que c es un entero algebraico.
Con esto estamos en condiciones de probar lo que habíamos anunciado:
2.1. Enteros algebraicos 21
Teorema 2.4 El conjunto E de los enteros algebraicos es un subanillo de A.
Demostración: Sean c, d E. Hay que probar que c + d y cd están en E.
Sea {v1, . . . , vn} un generador de Z[c] y sea {w1, . . . , wm} un generador de Z[d].
Sea M el Z-módulo generado por los todos los productos viwj .
Todo cr se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de los
vi y todo ds se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de los
wj . Al multiplicar estas expresiones obtenemos una expresión de crds como
combinación lineal con coeficientes enteros de los generadores de M, luego cada
crds M.
En particular, Z[cd] M, luego es un Z-módulo finitamente generado (todo
submódulo de un Z-módulo finitamente generado es finitamente generado). Por
el teorema anterior cd E.
Al desarrollar (c + d)k obtenemos una combinación lineal con coeficientes
enteros de elementos de la forma crds, que están en M, luego Z[c + d] M y
también se cumple que c + d E.
Del mismo modo que todo número racional es cociente de dos números enteros,
todo número algebraico es cociente de dos enteros algebraicos. En efecto:
Teorema 2.5 Para cada c A existe un entero no nulo m tal que mc E.
Demostración: Sea polmín c = xn +an−1xn−1 +· · ·+a1x+a0. Sea m el
producto de los denominadores de todos los coeficientes no nulos de p(x).
Entonces mn(cn + an−1cn−1 + · · · + a1c + a0) = 0, luego
(mc)n + an−1m(mc)n−1 + · · · + a1mn−1(mc) + a0 = 0.
Por lo tanto, xn + an−1mxn−1 + · · · + a1mn−1x + a0 es un polinomio mónico
con coeficientes enteros del cual es raíz mc.
Desde el punto de vista de la teoría algebraica de números, los enteros usuales
son sólo un caso particular de los enteros algebraicos. Por ello es costumbre
reservar la palabra “entero” para referirse a los enteros algebraicos. Nosotros
seguiremos esta costumbre en lo sucesivo y por ello a los elementos de Z los
llamaremos “enteros racionales”, pues ciertamente son los enteros (algebraicos)
que además son números racionales.
Ejemplo Al trabajar con enteros algebraicos podemos permitirnos simplificar
los cálculos usando aproximaciones racionales sin más precaución que vigilar
que los errores de redondeo no lleguen a media unidad, con lo que pueden ser
compensados al final tomando el entero más próximo al resultado. Como ilustraci
ón consideremos una raíz α del polinomio x3 + 4x + 1. Obviamente es un
entero, luego también lo es 2 + α2. Supongamos que queremos conocer el polinomio
mínimo de éste último. Una forma de hallarlo es buscar aproximaciones
racionales de los tres conjugados de α, a saber:
α1 = −0, 246266, α2 = 0, 123133 + 2, 01134 i, α3 = 0, 123133 − 2, 01134 i,
y después calcular
(x−2−α2
1)(x−2−α2
2)(x−2−α2
3) = x3+2, 00001×2−4x−9, 00003−2, 1684·10−19i.
Evidentemente el polinomio buscado es polmín(2 + α2) = x3 + 2×2 − 4x − 9.
Podríamos haber llegado al mismo resultado mediante un cálculo algebraico
exacto, pero si disponemos de un ordenador esta técnica resulta mucho más
rápida y eficiente. Se puede emplear igual para calcular normas, trazas, etc.
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