Teoría de números

Factorización única
La clasificación de las ternas pitagóricas, así como el teorema 1.1, descansan
sobre la aritmética elemental. Sin embargo, la potencia de estos métodos pronto
se ve superada por la dificultad de los problemas que surgen de forma natural. El
último Teorema de Fermat es un caso extremo, pero hay ejemplos más simples.
El resultado siguiente es uno de los problemas planteados por Fermat:
Las únicas soluciones enteras de la ecuación
y2 + 2 = x3
son y = ±5, x = 3.
Demostración: En primer lugar, y ha de ser impar, pues si fuera par,
y2 + 2 sería divisible entre 2, pero no entre 4, mientras que x3 sería divisible
entre 2, luego entre 8.
Ahora consideramos el anillo Z √−2 = {a + b√−2 | a, b ∈ Z}. En este
anillo la ecuación factoriza en la forma
y + √−2 y − √−2 = x3. (1.1)
Consideramos la norma N : Z √−2 −→ N dada por
N a + b√−2 = a + b√−2 a − b√−2 = a2 + 2b2.
Es fácil ver que esta norma es multiplicativa (se trata de la norma de la
extensión Q √−2 Q en el sentido de la teoría de cuerpos). Si x, y cumplen
la ecuación, entonces un divisor común c + d√−2 de y + √−2 y de y − √−2
en Z √−2 dividiría también a su suma 2y y a su diferencia 2√−2. Tomando
normas, c2 + 2d2 | 4y2, c2 + 2d2 | 8. Por lo tanto c2 + 2d2 | 4.
Las únicas posibilidades son c = ±1, d = 0 o bien c = 0, d = ±1 o bien
c = ±2, d = 0. En los dos primeros casos obtenemos una unidad y en los otros
obtenemos un elemento de norma 2 o 4, que no puede dividir a y + √−2, cuya
norma es y2 + 2, impar.
Así pues, y+√−2, y−√−2 son primos entre sí. Ahora bien, si dos números
primos entre sí son un cubo, tal y como afirma (1.1), entonces cada uno de ellos
lo es, es decir, y + √−2 = a + b√−2 3 para ciertos enteros a y b.
Igualando los coeficientes de obtenemos que 1 = b(3a2 − 2b2), lo que sólo es
posible si b = 1 y a = ±1, de donde y = ±5 y por lo tanto x = 3.
En realidad la prueba anterior tiene una laguna: si un producto de números
primos entre sí es un cubo perfecto, cada factor será también un cubo perfecto
siempre y cuando se trate de elementos de un anillo con factorización única,
es decir, donde todo elemento se descomponga de forma única (salvo orden y
asociación) en producto de primos, y además cada unidad sea un cubo. Lo cierto
es que el anillo Z √−2 tiene estas propiedades, pero no lo hemos justificado.
Ejercicio: Probar que las únicas unidades del anillo Z √−2 son ±1.
Ejemplo En el anillo Z √−5 tenemos las factorizaciones
6 = 2 ·3 = 1 + √−5 1 + √−5 . (1.2)
Si consideramos la norma N x + y√−5 = x2 +5y2 vemos que, al igual que en
el caso de Z √−2 , conserva productos, y los únicos elementos de norma 1 son
±1. Además no hay elementos de norma 2 o 3. De todo esto se sigue que los
cuatro factores de (1.2) son irreducibles y no asociados, pues tienen norma 4, 9
y 6, luego un factor propio de cualquiera de ellos habría de tener norma 2 o 3.
Por consiguiente nos encontramos ante una doble factorización en irreducibles
no primos.
Factorización única 7
La clave de la prueba del teorema 1.2 ha sido sin duda la factorización (1.1)
en el anillo Z √−2 . Paulatinamente los matemáticos fueron comprendiendo
que estructuras algebraicas abstractas como Z √−2 o, más en general, anillos,
módulos, ideales, grupos, etc. proporcionaban herramientas poderosas para obtener
resultados sobre los números enteros. Muchas pruebas basadas en largos
e ingeniosos cálculos de carácter elemental podían ser sustituidas por pruebas
cortas, conceptuales y claras basadas en estructuras algebraicas cada vez más
abstractas. En la mayoría de los casos, la posibilidad de dar una prueba elemental
resultaba prácticamente inconcebible.
En la prueba del caso p = 3 del teorema de Fermat, Euler partió de la
descomposición
x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2),
mientras que Dirichlet y Legendre, en sus pruebas para p = 5, consideraron
x5 + y5 = (x + y)(x4 − x3y + x2y2 − xy3 + y4).
El eje de los argumentos respectivos era el mismo argumento que hemos empleado
en la prueba de 1.2, es decir, determinar cuándo los factores son primos
entre sí, en tal caso argumentar que si el producto es un cubo o una potencia
quinta, lo mismo le ha de suceder a cada factor y después analizar las implicaciones
de este hecho. Es fácil comprender que el aumento de la complejidad del
segundo factor volvía los argumentos cada vez más enrevesados.
Un paso importante fue dado por Lamé cuando pensó en considerar el anillo
de los enteros ciclotómicos
Z[ω] = {ap−1ωp−1 + · · · a1ω + a0 | ap−1, . . . , a0 ∈ Z},
donde ω es una raíz p-ésima primitiva de la unidad. En efecto, si en la factorizaci
ón
xp − 1 = (x − 1)(x − ω) · · · (x − ωp−1)
sustituimos x por x/y y multiplicamos por −yp obtenemos
xp + yp = (x + y)(x + ωy) · · · (x + ωp−1y). (1.3)
Lamé conjeturó que si Z[ω] tuviera factorización única tal vez sería posible
generalizar los argumentos de los casos que hemos comentado para obtener una
prueba completa del teorema de Fermat, con la ventaja de trabajar con factores
lineales. Por ello muchos matemáticos de principios del siglo XIX investigaron
la factorización de enteros ciclotómicos. Cauchy trato sin éxito de encontrar
un algoritmo de división euclídea. Fue en este contexto, estudiando los enteros
ciclotómicos, en el que Kummer pudo obtener el resultado que citábamos antes,
en virtud del cual el teorema de Fermat es cierto para exponentes menores que
100. Kummer descubrió que los anillos de enteros ciclotómicos no siempre tienen
factorización única, pero que la conjetura de Lamé era correcta.

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