La ley de reciprocidad cuadrática
La lógica matemática nos ense˜na que no puede existir una teoría de números
completa, en el sentido de que existen propiedades de los números naturales que
son ciertas sin que exista ningún motivo por el cual lo sean, es decir, sin que
existan argumentos que lo prueben, ni mucho menos que lo expliquen. En un
término medio tenemos una amplia familia de resultados que podemos probar,
pero que en el fondo no comprendemos, en el sentido de que la prueba sólo es
una comprobación de que todo encaja más o menos sorprendentemente. Pero
en el extremo opuesto tenemos una importante clase de resultados que no sólo
sabemos demostrar, sino que podemos considerarlos bien comprendidos en el
sentido de que sabemos explicarlos a partir de principios generales conceptualmente
simples. Si comparamos la teoría de números con la física, estos tres tipos
de situaciones se corresponden respectivamente con 1) hechos puntuales, como
que un determinado día ha llovido en determinado sitio, cosa cuya necesidad no
cabe esperar que se pueda demostrar elegantemente a partir de ninguna teoría
física, 2) leyes basadas directamente en la experiencia, como el comportamiento
químico de los distintos átomos, que la química física sólo justifica con precisión
en muy pocos casos particulares, y 3) leyes como las que rigen los fenómenos
eléctricos, que, además de haber sido obtenidas empíricamente, todas ellas pueden
explicarse perfectamente a partir de las ecuaciones de Maxwell.
Del mismo modo que las leyes fundamentales de la física sólo pueden enunciarse
en el contexto de teorías abstractas que involucran conceptos muy distantes
de la experiencia cotidiana, el gran descubrimiento de la teoría de números
del siglo XIX fue que las leyes fundamentales sobre los números involucran esencialmente
conceptos algebraicos abstractos, de forma que las propiedades que
se observan sobre los números enteros son reflejos más o menos lejanos de estas
leyes generales. En este sentido, la auténtica teoría sobre los números enteros es
la teoría sobre los objetos algebraicos (o analíticos) donde se pueden enunciar
dichas leyes generales.
Las Disquisitiones Arithmericae de Gauss, publicadas a principios del siglo
XIX, constituyeron el primer paso por el que la teoría de números pasó de ser
una colección de resultados dispersos con pruebas técnicas superficiales, a ser
la profunda y potente teoría que es en la actualidad. La parte mas importante
de las Disquisitiones es la teoría sobre formas cuadráticas binarias, con la que
se pueden hallar todas las soluciones enteras de cualquier ecuación de la forma
p(x, y) = 0, donde p(x, y) es un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros.
Aunque no es éste el momento de entrar en detalles, es importante dejar
claro que no estamos hablando un algoritmo ingenioso para manipular ecuaciones,
sino de una teoría algebraica que, en lenguaje moderno, emplea grupos
finitos, congruencias módulo subgrupos, caracteres, matrices, determinantes,
módulos, etc.
Gauss probó que los resultados fundamentales concernientes a las formas
cuadráticas sobre los números enteros podían deducirse de un principio general,
un resultado descubierto por Euler, pero del que éste no fue capaz de probar
más que una mínima porción. Gauss lo redescubrió y lo demostró en el contexto
La ley de reciprocidad cuadrática 9
de su teoría de formas cuadráticas. Se trata de la famosa Ley de Reciprocidad
Cuadrática. Para enunciarla debemos introducir algunos conceptos.
Definición 1.3 Sea p un primo impar. Diremos que un número natural n primo
con p es un resto cuadrático módulo p si n ≡ x2 (mód p), para cierto entero x.
En caso contrario (siempre suponiendo que n es primo con p) diremos que n es
un resto no cuadrático módulo p. Definimos el símbolo de Legendre como
n
p =
1 sin es un resto cuadrático módulo p
−1 sin es un resto no cuadrático módulo p
0 sip | n
Es obvio que si a ≡ b (mód p) entonces (a/p) = (b/p).
Conviene pensar en el símbolo de Legendre desde el siguiente punto de vista
algebraico: Sea Up el grupo de las unidades de Z/pZ. La aplicación Up −→ U2
p
dada por x
→ x2 tiene por imagen al grupo de las clases de restos cuadráticos
módulo p, y su núcleo es ±[1] (pues el polinomio x2 − 1 sólo puede tener dos
raíces). Por lo tanto Up/U2
p ∼= {±1}, y el símbolo de Legendre (cuando p n)
es la composición de la aplicación n
→ [n] con este isomorfismo.
Ahora es claro que para todo a, b,
ab
p = a
pb
p.
Ley de reciprocidad cuadrática
1. Sean p y q primos impares distintos entonces
(a) Si p ≡ 1 (mód 4) o q ≡ 1 (mód 4) entonces
p
q = q
p.
(b) Si p ≡ 1 (mód 4) y q ≡ 1 (mód 4) entonces
p
q = −q
p.
2. (Primera Ley Suplementaria) Si p es un primo impar
−1
p = 1 si p ≡ 1 (mód 4)
−1 si p ≡ 3 (mód 4)
3. (Segunda Ley Suplementaria) Si p es un primo impar
2
p = 1 si p ≡ ±1 (mód 
−1 si p ≡ ±1 (mód
Sería difícil explicar aquí en poco espacio la importancia teórica de estos
hechos, pero la tienen. Lo que sí podemos mostrar fácilmente (aunque no sea
lo más importante) es que la ley de reciprocidad permite calcular fácilmente
cualquier símbolo de Legendre. Por ejemplo,
15
71 = 3
71 5
71 = −71
3 71
5 = −2
31
5 = 1,
donde alternativamente hemos aplicado la ley de reciprocidad para invertir los
símbolos y hemos reducido los ‘numeradores’ módulo los ‘denominadores’.
Pero destaquemos ante todo que la Ley de Reciprocidad es lo más opuesto
a un resultado elemental. Si el lector reflexiona sobre lo que significa que un
primo p sea un resto cuadrático módulo q y que q sea un resto cuadrático
módulo p, seguro que no encuentra ninguna conexión, por mínima que sea, que
le pueda sugerir un intento de prueba (a no ser que ya esté familiarizado con
la teoría de números). Pese a ello ahí tenemos una relación que además resulta
ser sorprendentemente simple en cuanto a su enunciado. Hoy se conoce casi un
centenar de pruebas distintas de la Ley de Reciprocidad Cuadrática. La primera
demostración que encontró Gauss era muy técnica, hasta el punto de desalentar
a sus mejores alumnos. Poco después encontró otra basada en lo más sutil de
su teoría de formas cuadráticas, esta vez de estructura mucho más simple. Más
tarde encontró otra basada en técnicas analíticas. Se conocen otras debidas a
Dirichlet (que usa análisis de Fourier), a Kronecker (basada en las propiedades
de los enteros ciclotómicos), hay otra de carácter elemental mucho más corta
(basada en argumentos de Gauss), pero la prueba que más ha penetrado en el
contenido de la ley de reciprocidad se debe a Artin, data de mediados del siglo
XX y en esencia la explica en términos de cohomología de grupos.
El camino que lleva desde la ley de reciprocidad de Gauss a la de Artin fue
iniciado por el propio Gauss, quien conjeturó una ley de reciprocidad cúbica y
una bicuadrática, aunque no pudo probarlas. Gauss comprendió que el símbolo
de Legendre no es simplemente una notación cómoda para enunciar la ley de
reciprocidad, sino que el asociar las clases módulo p con las potencias de −1 juega
un papel importante. La razón por la que los números enteros satisfacen una ley
de reciprocidad cuadrática es que Z contiene una raíz cuadrada primitiva de la
unidad, por lo que una ley de reciprocidad cúbica había de buscarse en el cuerpo
Q√−3 , es decir, el cuerpo ciclotómico tercero, y una ley de reciprocidad
bicuadrática había de buscarse en el cuerpo Q√−1 , el cuerpo ciclotómico
cuarto. Así lo hizo y las encontró. Precisamente, el anillo Z[i] se conoce como
anillo de los enteros de Gauss a raíz de sus investigaciones sobre la reciprocidad
bicuadrática.
Las primeras demostraciones de las leyes de reciprocidad cúbica y bicuadrática
se deben a Eisenstein, quien encontró además un fragmento de una ley de
reciprocidad p-ésima, estudiando, por supuesto, el anillo de enteros ciclotómicos
de orden p. Kummer compaginó sus investigaciones sobre el último Teorema de
Fermat con la búsqueda de una ley de reciprocidad general. Ambos problemas
apuntaban hacia los cuerpos ciclotómicos. Sus investigaciones fueron continuadas por Kronecker y sus discípulos, en una línea que llevó hasta la ya citada Ley
de Reciprocidad de Artin, una de las cumbres de la teoría de números moderna.
Latest Posts
