Teoría de números

Módulos y órdenes
Finalmente estamos en condiciones de estudiar de forma sistemática algunos
conceptos que nos surgieron en el capítulo anterior, en relación con el estudio de
las ecuaciones definidas mediante formas. Recordemos la definición de módulo:
Definición 2.10 Un módulo de un cuerpo numérico K es un subgrupo aditivo
de K finitamente generado.
Vimos en el capítulo anterior que los módulos están asociados a clases
de equivalencia de formas: Si α1, . . . , αr generan un módulo M, entonces la
ecuación diofántica
N(x1α1 + · · · + xrαr) = c (2.3)
tiene por soluciones a (las coordenadas de) los elementos de M de norma c. Un
generador distinto da lugar a una forma equivalente.
Si M es un módulo, es obvio que para todo α M y todo m Z, se cumple
mα = 0 si y sólo si m = 0 o α = 0, pero esto significa que M es libre de torsión,
y los Z-módulos finitamente generados libres de torsión son libres, o sea, tienen
base, y todas las bases tienen el mismo n´umero de elementos, llamado rango de
M (rangM).
Es inmediato que un conjunto finito de elementos de K es independiente
sobre Q si y sólo si es independiente sobre Z (una combinación lineal en Q se
convierte en una combinación lineal en Z multiplicando por un entero no nulo).
Consecuentemente si M es un módulo de K, rangM ≤ n (el grado de K).
Los módulos de rango n se llaman módulos completos. Si M es un módulo
completo, entonces una base de M como módulo es también una Q-base de K.
Si B y B son dos bases de M, entonces la matriz de cambio de base tiene
coeficientes enteros, al igual que su inversa, luego su determinante ha de ser
±1. El teorema 2.7 nos da entonces que ∆[B] = ∆[B ], luego podemos definir
el discriminante de M como el discriminante ∆[M] de cualquiera de sus bases.
Definición 2.11 Si M es un módulo de K y α K, α = 0, definimos
αM = {αm | m M},
que claramente es un módulo del mismo rango. Diremos que dos módulos M y
N son similares si existe un α K, α = 0 tal que N = αM.
La similitud es una relación de equivalencia entre los módulos de K.
Ejercicio: Comprobar que si F es una forma asociada a un módulo de la forma αM,
entonces F = N(α)F, donde F es una forma asociada al módulo M.
Este ejercicio justifica que si estudiamos un módulo para resolver una determinada
ecuación diofántica de tipo (2.3) podemos sustituirlo por otro similar.
Observar que si α1, . . . , αr son no nulos y generan un módulo completo M,
entonces los n´umeros 1, α2/α1, . . . , αr/α1 generan el módulo similar (1/α1)M
y, en particular,
K = Q(α2/α1, . . . , αr/α1).
Por el teorema 1.8, la forma asociada a este ´ultimo generador es irreducible,
luego también lo es la forma N(x1α1+· · ·+xrαr), pues se diferencia de la anterior
en una constante. En resumen, las formas asociadas a módulos completos son
irreducibles. Llamaremos formas completas a las formas asociadas a módulos
completos. éstas son exactamente las formas a las que la teoría que vamos a
desarrollar se aplica con éxito.
Ejemplo Consideremos la ecuación x2 + 5xy + 2y2 = 2. Siguiendo la técnica
del capítulo anterior podemos factorizarla como
Nx − −5 − √17
2 y  = 2.
Por lo tanto la ecuación está asociada al módulo completo
M = 1,
5 + √17
2 ,
correspondiente al cuerpo numérico Q √17 . Las soluciones de la ecuación se
corresponden con los elementos de M de norma 2. Por ejemplo, una solución es
evidentemente (x, y) = (0, 1), correspondiente al segundo generador.
Con esto no hemos hecho sino reformular el problema. Veamos una mínima
muestra de las ventajas del nuevo enfoque. Consideremos el n´umero
3 = 33+8√17.
Sencillos cálculos nos dan que N(3) = 1 y que 3M M. Parte de la teoría que
tenemos por delante dará cuenta de cómo se puede llegar a un n´umero con estas
propiedades. De momento veamos el interés de estos hechos. Ahora es claro
que los n´umeros
3n 5 + √17
2 , para n = 1, 2, 3, . . .
están todos en M y tienen norma 2, luego nos proporcionan nuevas soluciones
de nuestra ecuación. Por ejemplo,
3
5 + √17
2
=
301 + 73√17
2
= −32 + 73
5 + √17
2
nos lleva a la solución (x, y) = (−32, 73).
De este modo hemos encontrado infinitas soluciones de la ecuación. Esto es
un fragmento de la técnica que usaremos para resolver el caso general: veremos
que todas las soluciones pueden encontrarse de este modo a partir de un n´umero
finito de soluciones básicas.
Planteando esto en general, una solución de (2.3) esta determinada por un
elemento m en un módulo M tal que N(m) = c. Si 3 es un elemento de K tal
que 3m M y N(3) = 1, entonces N(3m) = c, luego 3m es otra solución. Esto
nos lleva a la definición de coeficiente de un módulo.
Definición 2.12 Sea M un módulo completo de un cuerpo numérico K. D i -
remos que α K es un coeficiente de M si αM M. Llamaremos OM al
conjunto de todos los coeficientes de M. Es claro que OM es un subanillo de K.
Lo llamaremos anillo de coeficientes de M.
Notar que para que α sea un coeficiente de M basta con que αm M cuando
m recorre una base de M.
En estos términos, los elementos de OM de norma 1 satisfacen las propiedades
que pedíamos a 3 en el ejemplo anterior. Para localizarlos probaremos que las
unidades de OM son precisamente los elementos de norma ±1 y así el problema
se reducirá parcialmente al problema algebraico de determinar las unidades de
un anillo. Primero necesitamos el siguiente hecho básico sobre OM.
Teorema 2.13 Sea M un módulo completo de K. Entonces OM es también
un módulo completo.
Demostración: Si γ M es no nulo, entonces γOM M y claramente
es un subgrupo abeliano de M, luego es un módulo. Así, OM = γ−1(γOM) es
también un módulo. Veamos que es de rango máximo.
Sea m1, . . . , mn una base de M. Si α K es no nulo existen n´umeros racionales
aij tales que αmi = n
j=1 aijmj . Sea c el producto de los denominadores
de los aij . Entonces c es un entero racional no nulo y cada caij Z, luego
caijmj M, y así cαmi M. Como los elementos m1, . . . , mn son una base de
M podemos concluir que cα OM.
Ahora aplicamos esto a una Q-base de K, digamos α1, . . . , αn, y encontramos
n´umeros racionales no nulos c1, . . . , cn tales que c1α1, . . . , cnαn OM, luego OM
contiene n elementos linealmente independientes, por lo que su rango es n.
Definición 2.14 Diremos que O es un orden de un cuerpo numérico K si es un
módulo completo de K que además es un anillo unitario.
El teorema anterior prueba que el anillo de coeficientes de un módulo completo
de K es un orden de K. Todo orden es el anillo de coeficientes de un
módulo completo (al menos de sí mismo).
Los órdenes son módulos muy especiales. Por lo pronto su estructura de
anillo nos permite argumentar en términos de divisibilidad, unidades, ideales,
etc. Otra característica muy importante es que los elementos de un orden han de
ser enteros. Recogemos éste y otros hechos importantes en el próximo teorema.
Teorema 2.15 Sea O un orden de un cuerpo numérico K de grado n.
1. Si α O entonces α es un entero y N(α), Tr(α) son enteros racionales.
Por lo tanto tenemos aplicaciones N : O −→ Z y Tr : O −→ Z.
2. Si α, β O y α | β, entonces N(α) | N(β). En particular si α y β son
asociados N(α) = ±N(β).
3 . Si a y b son enteros racionales, entonces a | b en Z si y sólo si a | b en O.
4. Si α O entonces α | N(α) (en O).
5. Un n´umero 3 O es una unidad si y sólo si N(3) = ±1.
Demostración: 1) Si α O, entonces Z[α] O (porque O un anillo),
luego luego Z[α] es finitamente generado (porque O es un módulo), luego por el
teorema 2.3 concluimos que α es entero.
Los conjugados de enteros son enteros (porque tienen el mismo polinomio
mínimo) y por lo tanto N(α) y Tr(α) son enteros (son el producto o la suma de
los conjugados de α). Además son racionales.
2) Es evidente, por la propiedad multiplicativa de la norma.
3) Si a | b en O, entonces a/b es entero y racional.
4) Supongamos α = 0 y consideremos el polinomio
p(x) = x − σ1(α) · · · x − σn(α) .
Los automorfismos de la clausura normal de K permutan los factores de
p(x), luego sus coeficientes son n´umeros racionales. Como α y sus conjugados
son enteros, también lo serán los coeficientes de p(x), es decir, son enteros
racionales.
El polinomio p(x) es mónico y su término independiente es ±N(α). Por
lo tanto podemos despejar N(α)/α como combinación de potencias de α con
coeficientes enteros racionales. Consecuentemente N(α)/α O.
5) Si N(3) = ±1 entonces 3 | N(3) = ±1, luego 3 es una unidad. Si 3 es una
unidad entonces 3−1 O, y N(3)N(3−1) = N(1) = 1, luego N(3) = ±1 (pues los
dos factores son enteros racionales).
Profundicemos ahora en la relación entre un módulo y su anillo de coeficientes.
En primer lugar tenemos lo siguiente:
Teorema 2.16 Sea K un cuerpo numérico. Entonces:
1. Dos módulos completos similares tienen el mismo anillo de coeficientes.
2. Si M es un módulo completo, existe un m Z no nulo tal que mM OM.
Demostración: 1) es evidente.
2) Sea m1, . . . , mn una base de M y α1, . . . , αn una base de OM. Existen
n´umeros racionales aij tales que mi = n
j=1 aijαj. Si m es el producto de los
denominadores de los aij se cumple que mmi OM, luego mM OM.
Así pues, todo módulo es similar a otro contenido en su anillo de coeficientes,
pero es claro que si M OM entonces M es un ideal de OM. Por lo tanto desde
un punto de vista teórico podemos limitarnos a trabajar con ideales de órdenes
en lugar de módulos. El recíproco también es cierto: todos los ideales de un
orden son módulos completos.
Teorema 2.17 Sea O un orden de un cuerpo numérico K. Los ideales no nulos
de O son módulos completos (aunque su anillo de coeficientes no es necesariamente
O).
Demostración: Sea I un ideal no nulo de O. Claramente I es un módulo
(todo Z-submódulo de un Z-módulo finitamente generado es finitamente generado).
Sea α I no nulo. Entonces αO I es un módulo similar al módulo
completo O, luego es un módulo completo. El rango de I ha de ser mayor o
igual que el de αO, que es el máximo, luego I es un módulo completo.
Volvamos al problema de las ecuaciones diofánticas definidas por formas completas.
Ya sabemos que es equivalente a encontrar todos los elementos de una
norma dada c en un módulo completo M. También hemos visto que si tenemos
un m M con N(m) = c, entonces obtenemos nuevas soluciones considerando
n´umeros de la forma 3m, donde, en los términos que hemos introducido, 3 es
una unidad de OM de norma 1. Conviene introducir una definición:
Definición 2.18 Dos elementos x e y de un módulo completo M son asociados
si existe una unidad 3 OM tal que x = 3y.
Teniendo en cuenta que un orden es su propio anillo de coeficientes, resulta
que cuando M es un orden este concepto de asociación se corresponde con
el usual en teoría de anillos: dos elementos de un anillo son asociados si se
diferencian en una unidad.
Así, resolver una ecuación diofántica asociada a una forma completa se reduce
a encontrar un conjunto maximal de elementos no asociados de una norma
dada junto con todas las unidades de norma +1. El planteamiento es razonable
porque ahora probamos que tal conjunto maximal es siempre finito, es decir,
todos los n´umeros de una norma dada se pueden obtener a partir de un n´umero
finito de ellos multiplicando por unidades de norma 1.
Teorema 2.19 Un módulo completo contiene sólo un n´umero finito de elementos
no asociados de una norma dada.
Demostración: Lo probamos primero para un orden O.
Sea α1, . . . , αn una base de O y sea c > 1 un n´umero natural. Cada elemento
de O es congruente módulo c con un elemento de la forma
x1α1 + · · · + xnαn con 0 ≤ xi < c.
Por lo tanto |O/(c)| ≤ cn.
Si α ≡ β (mód c) y |N(α)| = |N(β)| = c, entonces α − β = cδ, para un
δ O, luego α/β = 1 + (c/β)δ O, por el teorema 2.15, pues β | N(β) = ±c.
Esto significa que β | α y análogamente α | β, luego α y β son asociados.
Así pues, en O hay a lo sumo cn elementos no asociados de norma c.
Los elementos de norma ±1 son unidades, luego todos son asociados.
Si M es un módulo completo, existe m Z no nulo tal que mM OM. Si
α1, . . . , αr son elementos no asociados en M de norma c, entonces mα1, . . . , mαr
son elementos no asociados en OM de norma mnc, luego no puede haber más
que un n´umero finito de ellos.
Es importante se˜nalar que la prueba del teorema anterior no es constructiva,
es decir, no nos da un método para encontrar un conjunto maximal de elementos
no asociados de una norma dada. Más adelante daremos una versión efectiva
de este resultado. Por el momento hemos conseguido perfilar nuestro objetivo:
Para resolver el problema de las ecuaciones diofánticas determinadas
por formas completas hemos de dar un algoritmo para determinar un
conjunto maximal (finito) de elementos no asociados de una norma
dada en un módulo completo y otro para calcular un generador del
grupo de las unidades de norma +1 de un orden numérico (que
también veremos que es finito).
Terminamos la sección con un resultado fundamental a la hora de trabajar
con órdenes numéricos. Partimos de unas consecuencias elementales de 2.7.
Teorema 2.20 Sea K un cuerpo numérico.
1. Si O es un orden de K, entonces ∆[O] Z.
2. Si O O son dos órdenes de K, entonces ∆[O] = m2∆[O ], para cierto
natural m. Además m = 1 si y sólo si O = O .
Demostración: 1) es consecuencia inmediata del teorema 2.7.
2) Los elementos de una base de O se expresan como combinación lineal
de los elementos de una base de O con coeficientes enteros racionales. Por
lo tanto la matriz D de cambio de base tiene coeficientes enteros racionales
y su determinante es un entero racional. Por el teorema 2.7 concluimos que
∆[O] = |D|2∆[O ]. Además los órdenes coinciden si y sólo si D es de hecho una
matriz de cambio de base en O , lo que sucede si y sólo si |D| = ±1.
El ´ultimo apartado del teorema anterior implica que no es posible formar cadenas
ascendentes de órdenes en un cuerpo numérico (esto es falso para módulos:
basta pensar en M (1/2)M (1/4)M (1/8)M · · ·).
Así pues, cada orden está contenido en un orden maximal por encima del
cual no hay más órdenes. Vamos a probar que de hecho todos los órdenes de
K están contenidos en un mismo orden maximal. El teorema anterior nos dice
también que dicho orden tendrá un discriminante menor que el de cualquier otro
orden, y éste va a ser el criterio con el que lo encontraremos.
Definición 2.21 Llamaremos orden (maximal) de un cuerpo numérico K al
conjunto OK = K ∩ E. Claramente es un anillo que contiene a todos los demás
órdenes de K.
No es evidente que OK sea él mismo un orden. Para probarlo notemos
primero que del teorema 2.5 se sigue inmediatamente que K es el cuerpo de
cocientes de OK, así como que existe un ζ OK tal que K = Q(ζ), es decir, que
siempre podemos tomar un elemento primitivo que sea entero. Las n primeras
potencias de este elemento primitivo constituyen una base de K formada por
enteros.
Teorema 2.22 Si K es un cuerpo numérico, entonces OK es un orden de K
que contiene a todos los órdenes.
Demostración: Seg´un acabamos de comentar, K tiene una base B formada
por enteros. Los discriminantes de estas bases son enteros racionales,
luego podemos tomar una base de K formada por enteros tal que el n´umero
natural 
∆[B]
sea mínimo. Digamos B = {b1, . . . , bn}. Vamos a probar que
entonces B es una base de OK como módulo. Obviamente sus elementos son
linealmente independientes sobre Z, pues lo son sobre Q. Basta probar que
generan OK.
Supongamos, por el contrario, que existe un elemento d OK que no
pertenezca al submódulo generado por {b1, . . . , bn}. Como en cualquier caso
{b1, . . . , bn} es una base de K, se cumplirá que
d = a1b1 + · · · + anbn, (2.4)
para ciertos n´umeros racionales a1, . . . , an no todos enteros. Podemos suponer
que a1 / Z. Sea a1 = a + r, donde a Z y 0 < r < 1. Sustituyendo en (2.4)
obtenemos que
rb1 + a2b2 + · · · + anbn = d − ab1 OK.
Si llamamos c1 a este elemento y ci = bi para i = 2, . . . , n obtenemos una nueva
base C de K formada por enteros tal que la matriz de cambio de base es
DB
C =

r a2 a3 · · · an
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
…
…
…
. . .
…0
0
0
·
·
·
1

.
Claramente 
DB
C
= r y en consecuencia

∆[C]
= r2
∆[B] < 
∆[B],
en contra de la elección de B. Por lo tanto B es una base de OK como Z-módulo.
Definición 2.23 Llamaremos discriminante de K a ∆K = ∆[OK] Z. Una
base entera de K es una base de OK como módulo.
Así, si α1, . . . , αn es una base entera de K, tenemos que
K = {a1α1 + · · · + anαn | a1, . . . , an Q},
OK = {a1α1 + · · · + anαn | a1, . . . , an Z}.
En otros términos, los enteros de K son los elementos cuyas coordenadas
son enteras.
Es importante tener claro que una base de un cuerpo K formada por enteros
no es necesariamente una base entera. Basta pensar que si v1, . . . , vn es una
base entera de K, entonces 2v1, . . . , vn sigue siendo una base de K formada
por enteros, pero ya no es una base entera, pues v1 es un entero algebraico y no
tiene coordenadas enteras respecto a esta segunda base.
En general, si C es una base de K formada por enteros y B es una base
entera, entonces los mismos argumentos empleados en el teorema 2.20 nos dan
que ∆[C] = m2∆[B], para cierto n´umero natural m, de manera que C es una
base entera si y sólo si m = 1. Esto nos da de nuevo que una base entera es
simplemente una base formada por enteros con discriminante mínimo, como de
hecho hemos visto en la prueba del teorema 2.22.

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