Teoría de números

Ternas pitagóricas
En el siglo III, Diofanto trató en su Aritmética el problema de encontrar
ternas de números naturales no nulos x, y, z tales que x2 + y2 = z2. Estas
ternas se llaman ternas pitagóricas, pues según el teorema de Pitágoras permiten
construir triángulos rectángulos con lados enteros. Los egipcios las usaban para
construir ángulos rectos en arquitectura. Entre los ejemplos más conocidos están
32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132, 72 + 242 = 252. ¿Cómo encontrarlas todas?
En primer lugar notamos que si (x, y, z) es una terna pitagórica, también lo
es (mx,my,mz) para cualquier número m y, rec´ıprocamente, dada una terna
pitagórica (x, y, z), podemos dividir sus componentes por su m.c.d. para obtener
otra que cumpla además (x, y, z) = 1. Una terna cuyos elementos no
tengan divisores comunes se llama primitiva. Si encontramos un método para
hallar todas las ternas primitivas, las restantes se obtienen multiplicándolas por
números arbitrarios, luego el problema está resuelto. Las ternas anteriores son
todas primitivas.
Ante todo observemos que un divisor primo de dos de las componentes de
una terna pitagórica, divide a la tercera. Por ejemplo, si p | x y p | z, entonces
p | z2 −x2, con lo que p | y2 y por lo tanto p | y. Esto significa que, en realidad,
las componentes de una terna pitagórica primitiva son primas entre s´ı dos a dos.
En particular no puede haber más de una componente par. Un número es par o
impar si y sólo si lo es su cuadrado, y la suma y la diferencia de números impares
es par. Como consecuencia si dos de las componentes son impares, la restante
ha de ser par, es decir, en una terna primitiva hay siempre dos componentes
impares y una par.
Ahora veamos que z ha de ser impar. En otro caso lo son x e y, es decir,
x = 2m+1, y = 2n+1, luego x2 = 4m2 +4m+1, y2 = 4n2 +4n+1. Al tomar
clases módulo 4 resulta que [z]2 = [x]2 + [y]2 = [1] + [1] = [2]. Sin embargo
ninguna clase módulo 4 tiene a [2] por cuadrado: [0]2 = [0], [1]2 = [1], [2]2 = [0],
[3]2 = [1].
Como la situación de x e y es simétrica, podemos suponer que x es par e y
impar. Según lo visto z es también impar. Consecuentemente z + y, z − y son
ambos pares. Digamos que x = 2u, z + y = 2v, z − y = 2w.
Ahora x2 = z2 − y2 = (z + y)(z − y), luego u2 = vw, v > 0, v > 0.
Por otro lado (v,w) = 1, ya que si un primo p divide a ambos, entonces
p | (v + w) =
1
2
(z + y) +
1
2
(z − y) =
1
2
2z = z,
p | (v − w) =
1
2
(z + y) −
1
2
(z − y) = y,
y como (y, z) = 1, esto es contradictorio.
Por la factorización única, es claro que si vw = u2 con (v,w) = 1, v > 0,
w > 0, entonces tanto v como w han de ser cuadrados (cada uno ha de contener
cada primo un número par de veces porque as´ı le ocurre a u). Pongamos v = p2
y w = q2. Obviamente (p, q) = 1.
As´ı tenemos que z = v + w = p2 + q2, y = v − w = p2 − q2. En particular
q < p.
Como z e y son impares, p y q deben tener paridad opuesta. Sustituyendo
en las fórmulas anteriores queda
x2 = z2 − y2 = p4 + 2p2q2 + q4 − p4 + 2p2q2 − q4 = 4p2q2 = (2pq)2,
luego x = 2pq. En consecuencia la terna original queda de la forma
(x, y, z) = (2pq, p2 − q2, p2 + q2),
donde p, q son números naturales primos entre s´ı, q < p y de paridad opuesta.
Rec´ıprocamente, es fácil comprobar que cualquier terna en estas condiciones
es una terna pitagórica primitiva. Por lo tanto ya sabemos enumerarlas todas.
La tabla 1.1 contiene las correspondientes a los valores de p ≤ 7.

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